Toán hữu hạn Ví dụ

$\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3} > 0$

Bước 1

Loại bỏ các số hạng không âm từ giá trị tuyệt đối.

$\frac{x^{2} + 3 | x |}{x + 3} > 0$

Bước 2

Tìm tất cả các giá trị mà tại đó biểu thức chuyển từ âm sang dương bằng cách đặt từng thừa số bằng $0$ và giải.

$x^{2} + 3 | x | = 0$

$x + 3 = 0$

Bước 3

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 | x | = - x^{2}$

Bước 4

Chia mỗi số hạng trong $3 | x | = - x^{2}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chia mỗi số hạng trong $3 | x | = - x^{2}$ cho $3$ .

$\frac{3 | x |}{3} = \frac{- x^{2}}{3}$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 | x |}{3} = \frac{- x^{2}}{3}$

Bước 4.2.1.2

Chia $| x |$ cho $1$ .

$| x | = \frac{- x^{2}}{3}$

Bước 4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$| x | = - \frac{x^{2}}{3}$

Bước 5

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$x = \pm (- \frac{x^{2}}{3})$

Bước 6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = - \frac{x^{2}}{3}$

Bước 6.2

Nhân cả hai vế với $3$ .

$x \cdot 3 = - \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$3 x = - \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x^{2}}{3}$ vào tử số.

$3 x = \frac{- x^{2}}{3} \cdot 3$

Bước 6.3.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 x = \frac{- x^{2}}{3} \cdot 3$

Bước 6.3.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$3 x = - x^{2}$

Bước 6.4

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Cộng $x^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 x + x^{2} = 0$

Bước 6.4.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Giả sử $u = x$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x$ .

$3 u + u^{2} = 0$

Bước 6.4.2.2

Đưa $u$ ra ngoài $3 u + u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1

Đưa $u$ ra ngoài $3 u$ .

$u \cdot 3 + u^{2} = 0$

Bước 6.4.2.2.2

Đưa $u$ ra ngoài $u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u \cdot u = 0$

Bước 6.4.2.2.3

Đưa $u$ ra ngoài $u \cdot 3 + u \cdot u$ .

$u (3 + u) = 0$

Bước 6.4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x$ .

$x (3 + x) = 0$

Bước 6.4.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$3 + x = 0$

Bước 6.4.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 6.4.5

Đặt $3 + x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.5.1

Đặt $3 + x$ bằng với $0$ .

$3 + x = 0$

Bước 6.4.5.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 6.4.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (3 + x) = 0$ đúng.

$x = 0, - 3$

Bước 6.5

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = \frac{x^{2}}{3}$

Bước 6.6

Nhân cả hai vế với $3$ .

$x \cdot 3 = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Bước 6.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$3 x = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Bước 6.7.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 x = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3$

Bước 6.7.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$3 x = x^{2}$

Bước 6.8

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Trừ $x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 x - x^{2} = 0$

Bước 6.8.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.1

Giả sử $u = x$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x$ .

$3 u - u^{2} = 0$

Bước 6.8.2.2

Đưa $u$ ra ngoài $3 u - u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.2.2.1

Đưa $u$ ra ngoài $3 u$ .

$u \cdot 3 - u^{2} = 0$

Bước 6.8.2.2.2

Đưa $u$ ra ngoài $- u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u (- u) = 0$

Bước 6.8.2.2.3

Đưa $u$ ra ngoài $u \cdot 3 + u (- u)$ .

$u (3 - u) = 0$

Bước 6.8.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x$ .

$x (3 - x) = 0$

Bước 6.8.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$3 - x = 0$

Bước 6.8.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 6.8.5

Đặt $3 - x$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.5.1

Đặt $3 - x$ bằng với $0$ .

$3 - x = 0$

Bước 6.8.5.2

Giải $3 - x = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.5.2.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x = - 3$

Bước 6.8.5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 3$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x = - 3$ cho $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Bước 6.8.5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.5.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Bước 6.8.5.2.2.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Bước 6.8.5.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.5.2.2.3.1

Chia $- 3$ cho $- 1$ .

$x = 3$

Bước 6.8.6

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (3 - x) = 0$ đúng.

$x = 0, 3$

Bước 6.9

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 0, - 3, 3$

Bước 7

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 8

Giải tìm từng thừa số để tìm các giá trị mà giá trị tuyệt đối của biểu thức đi từ âm sang dương.

$x = 0, - 3, 3$

$x = - 3$

Bước 9

Hợp nhất các đáp án.

$x = 0, - 3, 3, - 3$

Bước 10

Tìm tập xác định của $\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Đặt mẫu số trong $\frac{x^{2} + | 3 x |}{x + 3}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x + 3 = 0$

Bước 10.2

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 3$

Bước 10.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Bước 11

Sử dụng mỗi nghiệm để tạo các khoảng kiểm định.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Bước 12

Chọn một giá trị kiểm định từ mỗi khoảng và điền giá trị này vào bất đẳng thức ban đầu để xác định khoảng nào thỏa mãn bất đẳng thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x < - 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x < - 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 6$

Bước 12.1.2

Thay thế $x$ bằng $- 6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(- 6)}^{2} + | 3 (- 6) |}{(- 6) + 3} > 0$

Bước 12.1.3

Vế trái $- 18$ không lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho sai.

False

Bước 12.2

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $- 3 < x < 0$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Chọn một giá trị trên khoảng $- 3 < x < 0$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = - 2$

Bước 12.2.2

Thay thế $x$ bằng $- 2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(- 2)}^{2} + | 3 (- 2) |}{(- 2) + 3} > 0$

Bước 12.2.3

Vế trái $10$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 12.3

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $0 < x < 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Chọn một giá trị trên khoảng $0 < x < 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 2$

Bước 12.3.2

Thay thế $x$ bằng $2$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(2)}^{2} + | 3 (2) |}{(2) + 3} > 0$

Bước 12.3.3

Vế trái $2$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 12.4

Kiểm tra một giá trị trong khoảng $x > 3$ để xem nó có làm cho bất đẳng thức đúng không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Chọn một giá trị trên khoảng $x > 3$ và quan sát nếu giá trị này làm cho bất đẳng thức ban đầu đúng.

$x = 6$

Bước 12.4.2

Thay thế $x$ bằng $6$ trong bất đẳng thức ban đầu.

$\frac{{(6)}^{2} + | 3 (6) |}{(6) + 3} > 0$

Bước 12.4.3

Vế trái $6$ lớn hơn vế phải $0$ , có nghĩa là câu đã cho luôn đúng.

True

Bước 12.5

So sánh các khoảng để xác định khoảng nào thỏa mãn bất phương trình ban đầu.

$x < - 3$ Sai

$- 3 < x < 0$ Đúng

$0 < x < 3$ Đúng

$x > 3$ Đúng

$x < - 3$ Sai

$- 3 < x < 0$ Đúng

$0 < x < 3$ Đúng

$x > 3$ Đúng

Bước 13

Đáp án bao gồm tất cả các khoảng thực sự.

$- 3 < x < 0$ hoặc $0 < x < 3$ hoặc $x > 3$

Bước 14

Quy đổi bất đẳng thức sang ký hiệu khoảng.

$(- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Bước 15